5.7. Коэффициент переноса. Фундаментальное уравнение теории транзисторов

Коэффициент передачи эмиттерного тока α характеризует изменение коллекторного тока I_к при вызвавшем его изменении эмиттерного тока I_э.

Ток коллектора обусловлен дырками, дошедшими от эмиттерного перехода до коллекторного. Поэтому важна доля дырок, дошедших до коллекторного перехода и нерекомбинировавших в базе и доля дырочного тока в эмиттерном токе.

   (5.9)

Зависимость коэффициента инжекции γ от параметров биполярного транзистора была получена ранее. Рассмотрим зависимость коэффициента переноса κ от параметров биполярного транзистора.

Из уравнения непрерывности

   (5.10)

следует, что в стационарном режиме

   (5.11)

Решение дифференциального уравнения (5.11) в общем виде будет иметь следующий вид:

   (5.12)

Запишем граничные условия для (4.11) исходя из того, что задан эмиттерный ток J_эр = γ · J_э и коллекторное напряжение U_к.

   (5.13)

   (5.14)

Найдем коэффициенты А₁ и А₂.

Продифференцировав уравнение в решении (5.12) по x получаем

с учетом граничных условий (5.13) имеем

(5.15а)

с учетом граничных условий (1.15а) имеем

   (5.15б)

Решая совместно уравнения (4.15), находим коэффициенты A₁ и A₂. Затем подставляем A₁ и A₂ в уравнение (4.12) и получаем следующее выражение для распределения концентрации инжектированных дырок р_n(х) по базе биполярного транзистора

   (5.16)

Последний сомножитель в квадратных скобках уравнения (5.16) всегда меньше единицы.

Наконец, разложив гиперболический синус sh(x) и гиперболический косинус ch(х) в ряд при условии x < W << L_р, получаем закон распределения дырок р_n(х) по базе биполярного транзистора в первом приближении

   (5.17)

Выражение (5.17) показывает, что в первом приближении распределение дырок р_n(х) по толщине базы линейно. Этот вывод понятен и по физическим соображениям. Поскольку ток в базовой области диффузионный и примерно постоянен по ширине базы (так как рекомбинация мала), поэтому постоянен градиент концентрации дырок dp/dx ≈ const.

Так как коэффициент переноса

то

Для того, чтобы точно определить коллекторный ток J_к, продифференцируем уравнение (5.16) для концентрации дырок р(х) и рассчитаем это выражение при х = W. Тогда

   (5.18)

Умножив (5.18) на qDS, получаем с учетом того, что гиперболический стремится к единице,

   (5.19)

Следовательно, коэффициент переноса κ имеет вид:

   (5.20)

Уравнение (5.20) является очень важным соотношением для биполярных транзисторов и по этой причине называется фундаментальным уравнением теории транзисторов.

Разлагая гиперболический косинус ch(x) в ряд при условии, что x < W, и используя первый член в этом разложении, получаем:

   (5.21)

Полагая значение W = 0,2L, получаем:

Таким образом, значение коэффициента переноса κ будет составлять величину, близкую к единице (отличие не более 2%) при условии, что ширина базы биполярного транзистора W по крайней мере в 5 раз меньше, чем диффузионная длина.

Поскольку коэффициент передачи α определяется произведением коэффициентов инжекции γ и переноса κ как α = γ·κ, то у сплавных транзисторов, где ширина базы составляет W = 10÷20 мкм, в коэффициенте передачи α главную роль играет коэффициент переноса κ. У диффузионных транзисторов ширина базы равняется W = (1÷2) мкм и главную роль в коэффициенте передачи α играет коэффициент инжекции γ.