А. Гусев, Э. Лидский, О. Мироненко

Малые выборки при оценке работоспособности и надежности электронных компонентов. Часть 1

Понятие малая выборка не имеет универсального определения. Косвенно уровень малости выборки при испытаниях заложен в современной характеристике над╦жности FIT. Такое представление в значительной степени конъюнктурно. Предметная область применения малых выборок достаточно широка. К ней относятся испытания электронных компонентов в различных режимах в составе аппаратуры и другие работы, носящие исследовательский характер. Особенности возникают как при организации испытаний, так и при осмысливании результатов. В первой части статьи предлагается количественная оценка вероятности выхода измеряемого параметра за допустимый предел. Оценка строится на основе гипотезы о марковости процесса изменения состояния объекта. Испытания проводятся при малой выборке, возможно, как ускоренные. Приводится пример применения предложенной методики обработки полученных данных. Отмечается связь с упомянутой характеристикой FIT. Дан краткий обзор работ, связанных с малой выборкой.

Характеристики над╦жности:

• FIT (Failure in Time) - число отказов за время EDH;
• DH (Device Hours) - произведение числа образцов на время испытаний;
• MTTF (Mean Time To Failure) - средняя наработка до отказа;
• FR (Failure Rate) - экспериментальная интенсивность отказов;
• EDH (Equivalent Device Hours) - привед╦нное полное время испытаний.

Малые выборки в статистике

Под выборкой ниже понимается либо число образцов, поставленных на испытания в заданном режиме, либо произведение числа образцов на время испытаний DH (Device Hours) [1]. Назначение объ╦ма выборки сопутствует циклу испытаний и статистическому анализу [2,3].

Один из основных вопросов математической статистики: какова должна быть минимально необходимая информация для получения требуемой достоверности результата. В частности, речь пойд╦т о числе образцов, поставленных на испытания при прочих равных условиях. Если подразумевать под условиями отсутствие каких-либо ограничений по точности конечного результата статистического анализа, то ответ на поставленный вопрос дал Р. Фишер [4,5].

Минимальное число образцов не может быть меньше 4. В противном случае, неизбежно возникает систематическая ошибка (смещение). Наличие смещения - первый признак отсутствия достаточности статистики [6]. Ряд авторов подтверждал вывод Фишера.

Исследования, касающиеся малых выборок, связаны с именами А.Н. Колмогорова, Дж. Неймана и А. Вальда. А.Н. Колмогоров установил критерий достаточности статистики при ограниченном числе наблюдений [7]. Дж. Нейман [8] создал новое направление в статистике, основное положение которого гласит: "Задача статистики - выявлять общий характер поведения объекта в условиях неопредел╦нности".

Такая позиция вполне согласуется с ограниченной возможностью делать слишком конкретные выводы при малых выборках. Идеи Дж. Неймана легли в основу Теории решений [6] - аппарата принятия гипотезы при явной неполноте информации.

А. Вальд разработал раздел статистики, именуемый последовательным анализом [9]. Необходимый объ╦м выборки, под которым понимается DH, определяется в процессе самих испытаний. Теоретически последовательная процедура требует для принятия решения меньший объ╦м выборки, чем при заранее фиксированном DH. Реально, при малой выборке дискретность параметра может сказаться отрицательно. Поэтому к такому выводу следует подходить с осторожностью [10].

Идеи Колмогорова, Неймана и Вальда в части малых выборок развиты в большом числе последующих работ, библиографию которых можно найти в фундаментальных трудах по статистике (например [11,12]).

В настоящее время прослеживается некоторое сужение области применения малых выборок при обработке результатов испытаний электронных компонентов (ЭК) [13]. Ведущие фирмы - изготовители ЭК при получении оценок над╦жности используют большие выборки [14-17]. Оценки типа FIT позволяют тогда сравнивать ЭК по разным классам изделий, технологиям, фирмам [18].

Задача испытаний и обработки результатов при малой выборке оста╦тся актуальной в случае:

• оценки работоспособности и над╦жности ЭК в особых условиях применения в аппаратуре [19];
• при необходимости расслоения выборки, например, в факторном анализе [20];
• при распознавании образа и классификации.

Последнее сосредотачивает сегодня наибольшее число работ, связанных с малыми выборками, что естественно, так как классификация есть принятие решения при недостатке информации. К. Мартином и С. Хиршбергом дан весьма полный обзор работ, получены уточн╦нные формулы достоверности и доверительных интервалов, а также критерий применимости малых выборок [21,22].

Малая выборка при оценке надежности

Катастрофический отказ ЭК есть необратимая полная потеря работоспособности. Поэтому анализ над╦жности не связан с выбором специальных параметров, идентифицирующих уровень работоспособности. Целесообразно сначала рассмотреть предлагаемый метод получения оценок над╦жности при малой выборке, объединяя уровни работоспособности понятием "исправность" ЭК.

Будем считать, что испытания проводятся по схеме ускоренных. Факторы ускорения: термическая нагрузка, или напряжение питания, или включение изделия в цепь с повышенным током, или, наконец, совместное действие перечисленных факторов.

Ставятся следующие задачи:

• дать количественную оценку степени малости выборки по результатам испытаний;
• установить связь традиционных показателей над╦жности с полученными результатами испытаний и характеристиками FIT и MTTF.

Новое понимание цели расч╦тно-экспериментального оценивания над╦жности электронных компонентов подробно разобрано в [18]. Остановимся только на выводах, которые дают решение первой из поставленных задач [1].

По рекомендации ряда фирм производителей ЭК, интенсивность отказов определяется не для одного типа ЭК, а для целой группы ЭК, связанных единством технологии, или назначения, или фирменно. Экспериментальная интенсивность отказов FR (Failure Rate) записывается в виде

(1)

где:

рассматривается как случайная величина, распредел╦нная по закону x²; - уровень значимости при проверке гипотезы о вероятности появления n зарегистрированных отказов; m = 2n + 2 - число степеней свободы; N - число образцов; H - время испытаний; At - коэффициент ускорения; NHAt = EDH (Equivalent Device Hours) - привед╦нное полное время испытаний.

Если считать, что за время испытаний отказов не зарегистрировано, то m = 2 и FR совпадает с традиционным представлением об интенсивности отказов при экспоненциальном распределении времени до наступления отказа. В противном случае, (1) основывается на факте, что число отказов мало и распределение не очень отличается от экспоненциального. Как будет видно из дальнейшего, ошибка при такой гипотезе не является особо существенной при использовании нетрадиционными показателями над╦жности.

FIT (Failure in Time) есть число отказов за время EDH.

FIT = FR╥10⁹ (2)

Запишем экспериментальную интенсивность отказов в известной для экспоненциального распределения форме

* = n/EDH.

Умножая * на 10⁹, получим аналог FIT. В этом просматривается связь с традиционными показателями над╦жности. Множитель 10⁹, по видимому, введ╦н фирмой ADI. Провед╦нные этой фирмой испытания охватили все виды выпускаемой продукции, прич╦м

5 < (n/EDH)x10⁹ < 6.

Таким образом, умножение на 10⁹ имело цель установить FIT целым в пределах 0÷9 для всей продукции ADI.

При таком подходе FIT становится сравнительной оценкой не только над╦жности как таковой, но и косвенной характеристикой гарантии фирмы на установленный срок службы прибора. Если, например FIT = 100, то это свидетельствует о недостаточной информации, полученной при испытаниях, - большом K = 10⁹/EDH. Недостаток информации от испытаний - это и есть то, что свидетельствует о малости обобщ╦нной выборки EDH. Конечно, оста╦тся открытым вопрос о том, что следует понимать под малой, очень малой, сверхмалой и т.п. выборками. Прежде чем говорить о подобной градации, остановимся на способе получения информации - испытаниях ЭК.

Как правило, испытания проводятся ускоренно [14], хотя есть также методики оценки над╦жности по результатам испытаний в нормальном режиме [23]. В [15] изложены варианты расч╦та множителя At при совместном действии повышенной температуры среды T (125÷150ºС) и повышенного напряжения питания V_cc.

At(T,V_cc) = K₁(T)K₂(V_cc),
(3)

где e_a - энергия активации; B - постоянная Больцмана 8,618╥10^-5eV/ºK; T(ºK) - температура при испытаниях; T_o(ºK) - номинальная температура; P (W) - рассеиваемая мощность; P_o(W) - номинальная рассеиваемая мощность; ¯w, ₀ - коэффициенты приведения к температуре (ºC/W).

K₂(V) = exp{Z(V_cc √ V_ccº)} (4)

где V_cc(B) - напряжение при испытаниях (V_cc ~ 1,3Vº_cc); Vº_cc(B) - номинальное напряжение; Z (0,5÷1,0) - размерный коэффициент.

Выражение для K₁(T) хорошо известно и широко применяется. Вычисление K₂(V) не так понятно. Удобство пользования (3) и (4) очевидно. Но существует ряд предложений, достаточно обоснованных [24-26], трактующих связь показателей над╦жности с напряжением питания иначе. Так, в [27] рекомендуется вычислять интенсивность отказов по формуле (при = ₀ = 0)

(5)

где I - ток в контуре включения прибора при испытаниях, I_o - номинальный ток.

Показатели степени , ß определяются эмпирически по результатам испытаний при разных V_cc, I. Не входя в подробное обсуждение, отметим, что подход на базе (5) успешно применялся для многих ЭК.

Вопрос о достоверности при малой выборке следует рассматривать в двух аспектах.

Во-первых, допустимо ли при малой выборке пользоваться результатами ускоренных испытаний для оценки над╦жности (речь в данном случае не ид╦т о гарантиях фирм)?

Во-вторых, как получить максимально возможную достоверность при прогнозе показателей над╦жности?

Помимо этого, принимаемая методика прогноза должна быть увязана с новыми показателями FIT, MTTF = 10⁹/FIT (Mean Time To Failure) - средняя наработка до отказа.

Зарубежные источники избегают затрагивать вопросы, связанные с испытаниями при малых EDH. Считается, что если объ╦м испытаний мал (FIT >> 10), то прогноз над╦жности теряет смысл. Однако на практике выводы на основании таких испытаний делать приходится (табл. 1, 2, заимствованные из [16]).

Таблица 1. Результаты испытаний

Таблица 2. Расч╦тные показатели надежности при разных температурах перехода

Изложим вкратце один подход к решению возникшей проблемы, подробно описанный в [28] и успешно применявшийся [29]. При этом модель процесса изменения технических параметров объекта просто связывается с принятой при построении FIT.

Постоянство параметра FR в терминах случайных процессов означает, что рассматривается Марковский процесс с двумя состояниями, одно из которых (отказовое) является поглощающим. Представим состояние исправности в виде конечного множества n-1 состояний. Элемент множества - квант состояния - характеризуется значениями технических параметров объекта. Сохраним предположение о Марковском характере процесса перехода из состояния в состояние. Интенсивности переходов объединим в матрицу

(6)

Показывая только идею подхода, не останавливаемся на задаче получения матрицы (6) по результатам испытаний, хотя именно при е╦ решении возникают основные трудности. Подробно изложение метода можно найти в [30].

Вероятность отказа определяется системой уравнений [31]:

(7)

где Q(t|i) - вероятность отказа за время t при i-ом начальном состоянии.

Прямое использование результатов испытаний в изложенном подходе не является возможным из-за малой выборки.

Действительно, как правило, отказы будут отсутствовать (в противном случае, прогноз теряет смысл). В матрице (6) оценки наибольшего правдоподобия дают нулевой столбец .

В упоминавшихся работах предложен способ принятия решения для перехода от точечных оценок элементов матрицы (6) к интервальным. Тогда решение системы (7) переста╦т быть тривиальным, и подход может быть развит для практики.

Для вычисления FIT отсутствие отказов не является препятствием. Покажем, как можно связать наблюдения в квантованном поле значений параметров объекта с показателями типа FR, FIT и MTTF.

Введ╦м гипотезу наихудшего случая при фактически не наблюдавшихся отказах в процессе испытаний: любой уход из кванта состояния означает отказ.

Другими словами, в новой матрице P* интенсивностей переходов p_in* = p_i: p_i находится по результатам испытаний

где m_i - число уходов из кванта, _i - суммарное время пребывания в кванте.

Вероятность отказа за время t

(8)

Таким образом имеет место закон Пуассона для вероятности x отказов за время t

(9)

где N₀⁽ⁱ⁾ - число образцов в i-ом состоянии в момент t = 0.

При применении распределения x² два очевидных равенства определяют число степеней свободы, равное 2: x + y = N₀⁽ⁱ⁾, где y - число не отказавших образцов, и

В свою очередь, две степени свободы означают, что при испытаниях отказы не наблюдались. Аналог (1) записывается в виде

(10)

Определим FR для ЭК как

, (11)

Вычисление FIT производится согласно (2).

Пример.

Испытания транзистора 2Т828.

Параметр: h21.
Число образцов: 15.
Время испытаний: 5000 час.
Число квантов: 2; N₀⁽¹⁾ = 6, N₀⁽²⁾ = 9.
Число отказов: 0.
Число замеров по времени: 10.
m1 = 8, m2 = 10, a = 0,6, At = 6.
Значения x² найд╦м по таблицам [11]:

x²_1√0,6⁽¹⁸⁾ = 16,257,
x²_1√0,6⁽²²⁾ = 18,614,

FIT = FR╥109 = 0,387╥105 1/ч,
MTTF = 109/FIT = 25840 час,
EDH = 234000 час.

Гарантируемая наработка до отказа много меньше полного времени испытаний. Сравнительно большое число переходов из кванта в квант свидетельствует об известной нестабильности технического параметра, что заставляет предполагать существенной вероятность ухода его значений за допустимые пределы.

Показатель FIT >> 10. Выборка может считаться очень малой.

Расч╦т этого примера по методике [30] да╦т вероятность отказа за 30000 час равную 0,0186. Если принять (только для сравнения c примером!) экспоненциальное распределение времени до отказа, то интенсивность отказов l будет равна 0,625╥10^-6 1/ч.

Разница между FR и понятна. Величина FR отвечает за гарантию, получаемую как итог испытаний. Малая выборка е╦ не обеспечивает. Величина связана только с физическим процессом перехода из состояния в состояние и не имеет отношения к гарантиям.

Напомним, что множитель 109 достаточно произволен и отражает конъюнктуру рынка, а не физические свойства. Вероятно было бы уместно ввести иное наименование для FIT, так как Failure in Time сохраняет перевод "интенсивность отказов" [33]. Вместе с тем, FIT есть удобная сравнительная характеристика, оценивающая неполноту информации об объекте, полученной при проведении испытаний.

Литература

1. Corporate Information, ADI Quality Systems, MTTF and FIT Rate Calculations.
2. Налимов В.В. Теория эксперимента. М: Наука, 1971.
3. Abraham B. & Ledolter J. Statistic methods for forcasting. N. J. Wiley, 1983.
4. Fisher R.A. On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. Roy. Soc., ser. A. 1921. v. 222.
5. Фишер Р. Статистические методы для исследователей. М: Гостехиздат, 1958.
6. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М: Наука, 1979.
7. Колмогоров А.Н. Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений. М: ИАН СССР, 1947.
8. Neyman J. L▓estimation statistique traitce comme unprobleme classique de probabilite. Actualites sci. et ind. ╧ 739.
9. Вальд А. Последовательный анализ. М: ФМ, 1960.
10. Anderson & S.L. Slove The Scientific Analysis of Data. The Scientific Press, Palo Alto, 1986.
11. Ван дер Варден Б.А. Математическая статистика. М: ИЛ., 1960.
12. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Наука, 1979.
13. Rasmussen. An Introduction to Statistics with Data Analysis. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1992.
14. ZILOG: Quality and Reliability Report, 1994-95.
15. Reliability Monitor Report, ATMEL PROPRIETARY, High Temperature Ope-rating Life.
16. Silicon Bipolar Transistors, Reliability Data, HBFR-405, HBFR-420, HBFR-450, Life Test.
17. Motorola: Reliability Report, 1996.
18. Гусев А.В., Лидский Э.А., Мироненко О.В. Современный подход к оценке надежности электронной техники // Компоненты и технологии. 2000. ╧ 6.
19. Горлов М.И., Строганов А.В. Прогнозирование долговечности интегральных схем // Изв. Вузов Электроника. 1997. ╧ 7.
20. Блохин В.Г., Глудкин О.П., Гуров А.И., Ханин М.А. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов. М: Радио и Связь, 1997.
21. Kent Martin. An Exact Probability Metric for Decision Tree Splitting and stopping, Machine Learning. 28. 1997.
22. Kent Martin & D.S. Hirschberg Small Sample Statistics for Classificasion Error Rate, Technical Reports 95-1. University of California. Irvine. CA. 1996.
23. Прохоренко В.А., Смирнов А.Н. Прогнозирование качества систем. Минск: Наука и Техника, 1976.
24. Ведерников В.В., Горюнов Н.Н., Гринман В.С., Дроневич В.М. Определение влияния факторов нагрузки на интенсивность отказов полупроводниковых приборов // Электронная техника. 1972. Сер. 8. Вып. 4.
25. Дроневич В.М., Слотин Ю.С. Оценка воздействия электрических и температурных нагрузок на надежность полупроводниковых приборов с применением метода математического планирования эксперимента // Электронная техника. 1974. Сер. 8Вып. 3.
26. Дроневич В.М. Количественная оценка воздействия эксплуатационных факторов нагрузки на интенсивность отказов полупроводниковых приборов // Электронная техника. 1977. Сер. 8. Вып. 1.
27. Дроневич В.М., Лидский Э.А. Прогнозирование надежности в составе показателя качества ИЭТ. Киев: Знание, 1981.
28. Лидский Э.А. Прогноз интервальных оценок безотказности элементов // Электронная техника. 1976. Сер. 8. Вып. 11.
29. Дроневич В.М., Лидский Э.А. Основные этапы прогнозирования надежно-сти ИЭТ // Электронная промышленность. 1982. ╧ 2.
30. Лидский Э.А., Мироненко О.В. Оценка длительной работоспособности по результатам испытаний малой выборки. ВИНИТИ. ╧ 1753 √ В2000.
31. Гнеденко Б.В., КоваленкоИ.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М: Наука, 1966.
32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М: Наука, 1973.
33. Коваленко Е.Г. Англо-русский словарь по надежности и контролю качества. М: Русский Язык, 1975.